Question

【题目】已知为等腰直角三角形，，将沿底边上的高线折起到位置，使，如图所示，分别取的中点.

（1）求二面角的余弦值；

（2）判断在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）点是线段的中点时，平面．

【解析】

试题（1）以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果；（2）假设在线段上存在一点，使平面，设，根据可求得.

试题解析：由题知，且，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则点．

（1），设平面的法向量为，则

，得，得，当时，得，同理可得平面的一个法向量为，那么，

所以二面角的余弦值为；

（2）假设在线段上存在一点，使平面，设，

则由，得，得，

那么，当平面时，，

即存在实数，使，解得，那么，

即点是线段的中点时，平面．

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角的大小以及存在性问题，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.