Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值；

（3）若函数有两个不同的零点， ，求证： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时， ，当时， ，当时， ；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）因为点在曲线上，所以，解得，利用导数求得斜率为，故切线为；（2），将分成四类，讨论函数的单调区间进而求得最大值；（3）不妨设，因为，所以，，要证明，即证明，令，即证，令（），利用导数求得的最小值大于零即可.

试题解析：

（1）因为点在曲线上，所以，解得．

因为，所以切线的斜率为0，

所以切线方程为．

（2）因为，

①当时， ， ，

所以函数在上单调递增，则；

②当，即时， ， ，

所以函数在上单调递增，则；

③当，即时，

函数在上单调递增，在上单调递减，

则；

④当，即时， ， ，

函数在上单调递减，则．

综上，当时， ；

当时， ；

当时， ．

（3）不妨设，

因为，

所以，，

可得， ，

要证明，即证明，也就是，

因为，

所以即证明，

即，

令，则，于是，

令（），

则，

故函数在上是增函数，

所以，即成立，所以原不等式成立．