Question

【题目】已知函数（）.

（1）若曲线在点处的切线经过点，求的值；

（2）若在区间上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求的取值范围；

（3）若当时， 恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）为极小值点. 的取值范围是（3）

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式写出切线方程，最后代入点坐标求的值；（2）由题意转化为对应方程在区间上有解，再利用变量分离法转化为求对应函数值域，即得的取值范围；最后根据符号变化规律确定该极值点是极大值点还是极小值点，（3）恒成立问题，一般利用变量分离法转化为对应函数最值： 最大值，再利用导数研究函数最大值，即得的取值范围.

试题解析：解：（1）对求导，得.

因此.又，

所以，曲线在点处的切线方程为.

将， 代入，得.解得.

（2）的定义域为.

.

设的一个极值点为，则，即.

所以 .

当时， ；当时， .

因此在上为减函数，在上为增函数.

所以是的唯一的极值点，且为极小值点.

由题设可知.

因为函数在上为减函数，

所以，即.

所以的取值范围是.

（3）当时， 恒成立，则恒成立，

即对恒成立.

设，求导得.

设（），显然在上为减函数.

又，则当时， ，从而；

当时， ，从而.

所以在上是增函数，在上是减函数.

所以，所以，即的取值范围为.