Question

已知函数f(x)=

4(x-a)

x2+4

．（a∈R）
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）设方程x²-2ax-1=0的两实根为m，n（m＜n），证明函数f（x）是[m，n]上的增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）结合题意分别讨论：当a=0时与当a≠0时，函数的奇偶性，当a≠0时，取x=±1，得f(-1)+f(1)=-

8

5

a≠0，f(-1)-f(1)=-

8

5

≠0，即可得到答案．
（Ⅱ）利用导数判定函数的单调性，再利用二次函数的性质判定其导数与0的大小，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，f(x)=

4x

x2+4

，
对任意x∈（-∞，+∞），f(-x)=

4(-x)

(-x)2+4

=-

4x

x2+4

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．  
当a≠0时，f(x)=

4(x-a)

x2+4

，
取x=±1，得f(-1)+f(1)=-

8

5

a≠0，f(-1)-f(1)=-

8

5

≠0，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．  
（Ⅱ）证明：因为f(x)=

4(x-a)

x2+4

，
所以f′(x)=

4(x2+4)-4(x-a)•2x

(x2+4)2

=

-4x2+8ax+16

(x2+4)2

=

-4(x2-2ax-1)+12

(x2+4)2

设g（x）=x²-2ax-1，当x∈[m，n]时，g（x）≤0，即x²-2ax-1≤0，
-4（x²-2ax-1）≥0，
∴

-4(x2-2ax-1)+12

(x2+4)2

＞0．
所以f（x）在区间[m，n]上是增函数．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，并且熟练利用导数判定函数的单调性．