Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

，E、F分别为PC、BD的中点．
（I）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥P-BCD的体积．

Answer 1

分析：（I）连接AC，由条件证明EF为三角形CPA的中位线，可得EF∥PA．再由直线和平面平行的判定定理可得 EF∥平面PAD．
（Ⅱ）取AD得中点O，由侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

，可得PO垂直平面ABCD，且PO=1．再根据三棱锥P-BCD的体积V=

1

3

•S_△BCD•PO，运算求得结果．

解答：解：（I）证明：连接AC，由于E、F分别为PC、BD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，则EF为三角形CPA的中位线，
故有 EF∥PA．
再由PA?平面PAD，EF不在平面PAD内，可得EF∥平面PAD．
（Ⅱ）取AD得中点O，∵侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

，则PO垂直平面ABCD，且PO=

PA2-AO2

=1．
故三棱锥P-BCD的体积V=

1

3

•S_△BCD•PO=

1

3

•

1

2

•2•2•1=

2

3

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，属于中档题．