Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知定点，点在轴上运动，点在轴上运动，点为坐标平面内的动点，且满足，.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过曲线第一象限上一点（其中）作切线交直线于点，连结并延长交直线于点，求当面积取最小值时切点的横坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设点，，，由已知条件推导出点，，由此能求出动点的轨迹的方程；

（2）分别求出切线 与 的方程，求得， 的纵坐标，写出三角形的面积，利用导数求解当△面积取最小值时切点的横坐标．

解：（1）设，，.因为，，

所以，，，所以.

（2）

或

或

因为为曲线上第一象限的点，则

过（其中）作曲线的切线，则切线的斜率

所以切线：，将代入得，

直线：，将代入得，，

因为在抛物线上且在第一象限，所以，所以，

设，，

，

，

.