Question

已知数列{a_n}满足：a₁=-，a_n²+（a_n+1+2）a_n+2a_n+1+1=0．
求证：（1）-1＜a_n＜0；
（2）a_2n＞a_2n-1对一切n∈N^*都成立；
（3）数列{a_2n-1}为递增数列．

Answer 1

证明：已知条件可化为（a_n+1+a_n）（a_n+2）+1=0，
即a_n+1=-a_n-．
（1）①当n=1时已成立；
②假设当n=k时结论成立，即-1＜a_k＜0，
那么当n=k+1时，a_k+1=-（a_k+2）-+2．
∵1＜a_k+2＜2，又y=t+在t∈（1，2）内为增函数，
∴a_k+2+∈（2，），
∴a_k+1∈（-，0），则-1＜a_k+1＜0，
∴当n=k+1时结论成立．
由①②知，对一切n∈N^*均有-1＜a_n＜0．
（2）①当n=1时，a₂=-＞a₁=-成立；
②假设当n=k（k≥1且k∈N）时结论成立，即a_2k＞a_2k-1，
∴1＜a_2k-1+2＜a_2k+2＜2，
∴a_2k-1+2+＜a_2k+2+，
∴-a_2k-1-＞-a_2k-，即a_2k＞a_2k+1．
同上法可得a_2k+2＞a_2k+1，
∴当n=k+1时结论成立．
由①②知对一切n∈N^*均有a_2n＞a_2n-1成立．
（3）a_n+1+a_n=-，则a_n+2+a_n+1=-．
两式相减得
a_n+2-a_n=-=．
若把上式中的n换成2n-1，
则a_2n+1-a_2n-1=＞0，
∴数列{a_2n-1}为递增数列．
分析：（1）用数学归纳法，①由题设条件知a_n+1=-a_n-．当n=1时成立；②假设当n=k时结论成立，即-1＜a_k＜0，那么当n=k+1时，a_k+1=-（a_k+2）-+2．由此导出-1＜a_k+1＜0，当n=k+1时结论成立．由①②知，对一切n∈N^*均有-1＜a_n＜0．
（2）①当n=1时，a₂=-＞a₁=-成立；②假设当n=k（k≥1且k∈N）时结论成立，即a_2k＞a_2k-1，由此能推导出a_2k+2＞a_2k+1，当n=k+1时结论成立．由①②知对一切n∈N^*均有a_2n＞a_2n-1成立．
（3）由a_n+1+a_n=-，知a_n+2+a_n+1=-．由此能导出a_2n+1-a_2n-1=＞0，即数列{a_2n-1}为递增数列．
点评：本题考查数列的综合性质和应用，解题时要认真审题，注意数学归纲法的合理运用．