Question

【题目】如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形， .已知， .

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）若为上一点，记三棱锥的体积和四棱锥的体积分别为和，当时，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（1）连接AC交BD于O点，由BD⊥AC，BD⊥OP得出BD⊥平面PAC，故PC⊥BD；（2）由（1）知平面平面，过点作，交于，则平面，

∴， 分别是三棱锥和四棱锥的高.从而根据体积比得到长度比的值.

试题解析：

（Ⅰ）证明：连接交于点

∵，∴

又∵是菱形，∴

而，∴平面，且平面

∴

（Ⅱ）由条件可知： ，∴

∵，∴，∴

由（Ⅰ）知， 平面， 平面，

∴，∴平面，

∴平面平面

过点作，交于，则平面，

∴，∴分别是三棱锥和四棱锥的高.

又，

由，得，所以

又由

同时， ，∴.

点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．