Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数），是的导函数.

（Ⅰ）当时，求证；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在且为.

【解析】

（Ⅰ）要证明函数不等式（），注意到，因此我们可先研究函数的性质特别是单调性，这可通过导数的性质确定；

（Ⅱ）首先把不等式具体化，即不等式为，注意到特殊情形，时，不等式为，因此的值只有为1或2，因此只要证时，不等式恒成立即可，这仍然通过导数研究函数的单调性证得结论，为了确定导数的正负的方便性，把不等式变为，因此只要研究函数的单调性，求得最小值即可.

试题解析：（Ⅰ）当时，，则 ，

令，则 ，

令，得，故在时取得最小值，

在上为增函数，

，

（Ⅱ） ，

由，得对一切恒成立，

当时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取1,2.

下面证明当时，不等式恒成立，

设 ，则 ，

由（Ⅰ） ， ，

当时， ；当时， ，

即在上是减函数，在上是增函数，

,

当时，不等式恒成立

所以的最大值是2.