Question

【题目】设直线与函数的图像恰有两个不同的公共点.求出所有这样的直线方程.

Answer 1

【答案】

【解析】

显然，直线与函数的图像只有一个公共点.于是，

设直线方程为.将其代入，

得. ①

方程①恰有两个不同实根，有如下3种情形：

（1），

其中，、、、，，且.

（2），其中，、，且.

（3），其中，、，且.

对于（1），可设，

其中，，.

展开比较系数得，，，.

由前两个方程得，，代入，，得

.

所以，.

故

则，.

直线方程为，

其中，实数、满足.

比如，取，则；取，则，.因此，直线方程为.

此时，方程①为.

对于（2），可设，其中，.

在（1）的方程组中令，，得，，，.

解得，，，.

因此，直线方程为.

对于（3），展开比较系数得，，，.

由前两个方程得，.解得.

注意到，，，

于是，.

此时，直线方程为.