Question

【题目】已知数列{an}中，a1=1，a2=a，且an+1=k（an+an+2）对任意正整数n都成立，数列{an}的前n项和为Sn．

（1）若，且S2019=2019，求a；

（2）是否存在实数k，使数列{an}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由；

（3）若，求Sn．

Answer 1

【答案】(1) a=1；(2)存在满足要求的实数k有且仅有一个；(3) Sn=

【解析】

（1）由题意求得首项为1，公差d=a-1，结合等差数列前n项和公式列方程可得a；

（2）假设存在满足题意的实数k，分类讨论可得k；

（3）k=，an+1=（an+an+2），an+2+an+1=（an+1+an），an+3+an+2=（an+2+an+1）=an+1+an，结合题意分类讨论，然后分组求和可得Sn．

解：（1）k=，an+1=（an+an+2），

∴数列{an}为等差数列，

∵a1=1，a2=a，∴公差d=a-1，

∴S2019=2019=2019+×（a-1），解得a=1；

（2）设数列{an}是公比不为1的等比数列，则它的公比q==a，

∴am=am-1，am+1=am，am+2=am+1，任意相邻三项

am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列，

①an+1为等差中项，则2am+1=am+am+2．

即am-1+am+1=2am，解得a=1，不合题意；

②am为等差中项，则2am=am+1+am+2，

即2am-1=am+1+am，化简a2+a-2=0，解得a=-2或a=1（舍去）；

③若am+2为等差中项，则2am+2=am+1+am，

即2am+1=am+am-1，化简得：2a2-a-1=0，解得a=；

∴k====．

综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个；

（3）k=，则an+1=（an+an+2），

∴an+2+an+1=（an+1+an），an+3+an+2=（an+2+an+1）=an+1+an，

当n是偶数时，Sn=a1+a2+…+an=（a1+a2）+…+（an-1+an）

=（a1+a2）=（a+1）．

当n是奇数时，Sn=a1+（a2+a3）+…+（an-1+an）

=1+（a2+a3）=1+[-（a1+a2）]=1（a+1）（n≥1），

n=1也适合上式，

综上可得，Sn=．