Question

【题目】已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线.

（1）求的解析式；

（2）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得的方程；将切点代入两个函数，可得的方程；联立两个方程即可求得的值，进而得的解析式；

（2）将的解析式代入并求得，由极值点定义可知，是方程的两个不等实根，由韦达定理表示出，结合可得.代入中化简，分离参数并构造函数，求得并令求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得的取值范围.

（1）根据题意，函数与

可知，，

两图象在点处有相同的切线，

所以两个函数切线的斜率相等，即，化简得，

将代入两个函数可得，

综合上述两式可解得，

所以.

（2）函数，定义域为，

，

因为，为函数的两个极值点，

所以，是方程的两个不等实根，

由根与系数的关系知，，

又已知，所以，

，

将式代入得

，

令，，

，令，解得，

当时，，在单调递减；

当时，，在单调递增；

所以，

，

，

即的取值范围是.