Question

某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4

5

，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ	0	1	2	3
p	6 125	a	d	24 125

（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（Ⅱ）求P，q的值；
（Ⅲ）求数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率为1-P（ξ=0）；
（II）根据P（ξ=0）与P（ξ=3）建立关于p和q的方程组，解之即可求出p和q的值；
（III）先求出a和d的值，然后根据Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2P（ξ=2）+3P（ξ=3）即可求出数学期望．

解答：解：事件A_i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3，由题意知P(A1)=

4

5

，P（A₂）=p，P（A₃）=q
（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P(ξ=0)=1-

6

125

=

119

125

，
（II）由题意知P(ξ=0)=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=

1

5

(1-p)(1-q)=

6

125

P(ξ=3)=P(A1A2A3)=

4

5

pq=

24

125

整理得 pq=

6

25

，p+q=1
由p＞q，可得p=

3

5

，q=

2

5

．
（III）由题意知a=P(ξ=1)=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2

.

A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)
=

4

5

(1-p)(1-q)+

1

5

p(1-q)+

1

5

(1-p)q=

37

125

d=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

58

125

Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2P（ξ=2）+3P（ξ=3）=

9

5

故所求数学期望为

9

5

．

点评：本题主要考查了互斥事件与对立事件的概念，以及离散型随机变量的期望，属于中档题．