Question

【题目】设函数，.

（1）求函数的图象在处的切线方程；

（2）求证：方程有两个实数根；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析；

【解析】

（1）求导得到，再求得，，写出切线方程.

（2）令，求导，设，则，结合，得到在上单调递增，在上单调递减，再利用零点存在定理求解.

（3）设，则，将证明，转化为证明成立，易知恒成立，则要证，只需证为单调递减函数，然后用导数法证明即可.

（1）因为，

所以，

所以，，

所以的图象在处的切线方程为，即.

（2）设，定义域为，

，

设，

因为，所以，因此在上单调递减，

又，所以时，，在上单调递增，

时，，在上单调递减，

因此，而，

所以在上有一个零点，

而，

所以在上有一个零点，

故方程有两个实数根.

（3）设，则，

不等式，即为，

设

当时，，当时，，

所以

所以

所以恒成立，

所以要证，只需证为单调递减函数.

，

设

当时，，当时，，

所以

所以恒成立，

则

即，

所以，

所以为单调递减函数，

故.