Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数有两个零点，求a的取值范围；

（Ⅱ）恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先求导，对分类讨论，求出单调区间，结合零点存在性定理，即可求出结论；

（Ⅱ）分离参数转化为满足在上恒成立时，的取值范围，设，通过求导求出，即可求解.

（Ⅰ）由已知得x＞0，.

①当a≥0时，，此时f（x）是增函数，故不存在两个零点；

②当a＜0时，由，得，

此时 时，，此时是增函数；

当 时， ，此时是减函数，

所以时，f（x）取得极大值，由f（x）有两个零点，

所以，解得.

又，所以f（x）在（0，）有唯一零点.

再取，

则.

所以f（x）在有唯一实数根，

所以a的取值范围是.

（Ⅱ）恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立.

令，则.

令，则0.

所以在上递增，而，

故存在使得，即.

∴.

令，，

所以在上递增，∴.

而时，，即，

所以在上递减；

时，，即，

故在上递增.

所以时，取得极小值，也是最小值，

，∴a≤1.

所以a的取值范围是.