Question

已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）和（）；（2）16

【解析】

试题分析：（1）设动点的坐标为，由题意得  …2分

化简得 当时；当时

所以动点的轨迹的方程为和（）  ………………………5分

（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．

由设则

， …6分

因为，所以的斜率为．设，则同理可得    ， ……7分

 ………10分

 …12分

当且仅当即时，取最小值16．…13分

考点：本题考查了轨迹方程的求法及直线与抛物线的位置关系

点评：从近几年课标地区的高考命题来看，解析几何综合题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，直线与多种曲线的位置关系的综合问题将会逐步成为今后命题的热点，尤其是把直线和圆的位置关系同本部分知识的结合，将逐步成为今后命题的一种趋势.近几年高考题中经常出现了以函数、平面向量、导数、数列、不等式、平面几何、数学思想方法等知识为背景，综合考查运用圆锥曲线的有关知识分析问题、解决问题的能力