Question

【题目】已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点A是第一象限内椭圆上一点，且在轴上的正投影为右焦点，过点作直线分别交椭圆于两点，当直线的倾斜角互补时，试问：直线的斜率是否为定值；若是，请求出其定值；否则，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由题意求出a，b,即可得到椭圆的方程；

（Ⅱ）依题意知，点，设，直线的方程为：，联立方程可得利用韦达定理表示G点坐标，同理可得： ，），从而得到结果.

（Ⅰ）由题设知，

由椭圆的定义知：的周长为，解得.

故因此，所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）证明：依题意知，点，设

直线的方程为：，

联立，得，

则， 即，

又，

即 ，）

又直线的倾斜角互补，则直线的斜率为

同理可得： ，），

因此，直线的斜率为为定值.