Question

【题目】已知椭圆的离心率，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2.原点到直线A2B2的距离为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M，若直线OT与以MN为直径的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值，并求出该定值.

Answer 1

【答案】（1）y2＝1（2）证明见解析；定值2

【解析】

（1）设a＝2m，cm，则b＝m.直线A2B2方程为mx﹣2my﹣2m2＝0.由点到直线距离公式能求出m＝1.由此能求出椭圆方程.

（2）由A1（0，1）A2（0，﹣1），设P（x0，y0），分别求出直线PA1和直线PA2，设圆G的圆心为，利用圆的性质能证明线段OT的长度为定值2；

（1）因为椭圆C的离心率e，故设a＝2m，cm，则b＝m.

直线A2B2方程为bx﹣ay﹣ab＝0，即mx﹣2my﹣2m2＝0.

所以，解得m＝1.

所以a＝2，b＝1，椭圆方程为y2＝1；

（2）由（1）可知A1（0，1）A2（0，﹣1），设P（x0，y0），

直线PA1：y﹣1x，令y＝0，得xN，

直线PA2：y+1x，令y＝0，得xM，

设圆G的圆心为，

则.

OG2.

OT2＝OG2﹣r2.

而y02＝1，所以x02＝4（1﹣y02），所以OT2＝4，

所以OT＝2，即线段OT的长度为定值2.