Question

【题目】已知曲线C1的参数方程为 ，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 ．
（1）求A，B两点的极坐标；
（2）设P为曲线C2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：经t=﹣1代入C1得x=3，y=﹣ ，

则A（3，﹣ ），B（﹣3， ），它们的极坐标为A（2 ， ），B（2 ， ）

（2）解：曲线C2的极坐标方程为 ．

平方得ρ2= = ，

即3ρ2+ρ2sin2θ=12，

即3x2+3y2+y2=12，

即3x2+4y2=12，

即 =1．

设P（2cosθ， sinθ），

则|PA|2+|PB|2=（2cosθ﹣3）2+（ sinθ+ ）2+（2cosθ+3）2+（ sinθ﹣ ）2

=2（4cos2θ+3sin2θ+12）=2（15+cos2θ），

∵cos2θ≤1，∴PA|2+|PB|2=2（15+cos2θ）≤32，

即|PA|2+|PB|2的最大值是32．

【解析】（1）将t=﹣1代入得A，B的坐标，即可得到结论．（2）求出曲线C2上的直角坐标方程，设P的坐标，结合两点间的距离公式进行求解即可．