Question

(14分)设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）D是过三点的圆上的点，D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）.（Ⅲ）．

解析试题分析：(I) B（x₀，0）,根据，且,可得,
据此可得，所以离心率.
(II)在（I）的基础上由离心率可知,可用a表示△的外接圆圆心和半径，再根据
圆心到直线的距离为，建立关于a的方程求出a的值，椭圆方程为.
(III)直线方程与椭圆方程联立消y得,下一步解题的关键是把借助韦达定理转化为关于k,m的方程，从而可用k表示m,再利用函数的方法求出m的取值范围.
（Ⅰ）设B（x₀，0），由（c，0），A（0，b），
知 
，
由于 即为中点．
故
，  
故椭圆的离心率 
（Ⅱ）由（1）知得于是（，0）, B，
△的外接圆圆心为（，0），半径r=||=,
D到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，
所以，解得=2，∴c =1，b=，
所求椭圆方程为.                         ------------------8分
（Ⅲ）由（2）知, ：
          代入得  
设，
则，     ------------------10分

由于菱形对角线垂直，则
故,则
               ------------------12分
由已知条件知且 
    
故存在满足题意的点P且的取值范围是