Question

设函数f(x)=

1

2

x2-tx+3lnx，g(x)=

2x+t

x2-3

，已知a，b为函数f（x）的极值点（0＜a＜b）．
（1）求函数g（x）在区间（-∞，-a）上单调区间，并说明理由；
（2）若曲线g（x）在x=1处的切线斜率为-4，且方程g（x）-m=0有两上不等的负实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）据极值点处的导数为0，利用二次方程的根与系数的关系将g′（x）用a，b表示，令g′（x）＞0得到单增区间；令令g′（x）＜0得到单减区间
（2）据在切点处的导数值为切线斜率，求出t的值，通过求g（x）的单调性及极值画出g（x）的大致图象，数形结合求出m的取值范围．

解答：解：（1）令f′(x)=x-t+

3

x

=

x2-tx+3

x

=0
∴a，b为方程x²-tx+3=0的两根，
又g′（x）=-

2(x2+tx+3)

(x2-3)2

=

-2(x+a)(x+b)

(x2-3)2

=（x≠±

3

）
由0＜a＜b及ab=3知0＜a＜

3

＜b，
∴-b＜-

3

＜-a＜0，
当x∈（-b，-a）且x≠-

3

时，g′（x）＞0；当x∈（-∞，-b）时，g′（x）＜0
∴g（x）在（-∞，-b）上单调递减；在区间(-b，-

3

)，(-

3

，-a)上单调递增
（2）由g′(1)=-

2(t+4)

4

=-4得t=4
∴g（x）=

2x+4

x2-3

，
∴g′(x)=

-2(x+1)(x+3)

(x2-3)2

，
令g′（x0=0解得x=-3或-1
∴当x在（-∞，0]上变化时，g（x），g′（x）的变化情况如下：
当x＜-3时，g′（x）＜0；
当-3＜x＜-

3

时，g′（x）＞0；
当-

3

＜ x＜-1时，g′（x）＞0；
当-1＜x＜0时，g′（x）＜0
故当x=-3时，有极小值-

1

3

；
当x=-1时，有极大值-1；并且g（0）=-

4

3

∴g（x）的大致图象为：
∴方程g（x）-m=0有两个不等的负实根时，m∈(-

4

3

，-1)∪(-

1

3

，0)

点评：本题考查通过导数求函数极值，求单调区间；画函数的大致图象等．