Question

设，曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求的值;
(2) 若，恒成立，求的范围.
(3)求证：

Answer 1

(1) 0. (2)  .
(3) 结合（2）时,成立.令
得到，

  
累加可得.

解析试题分析：(1)求导数，并由得到的值; (2)恒成立问题，往往转化成求函数的最值问题.本题中设，即转化成.利用导数研究函数的最值可得.
(3) 结合（2）时,成立.令得到，

  
累加可得.
试题解析：(1)            2分
由题设，
，.                    4分
(2) ,，，即
设，即.
                   6分
①若，，这与题设矛盾.         8分
②若方程的判别式
当，即时，.在上单调递减，
，即不等式成立.                                            9分
当时，方程，其根，，
当,单调递增，，与题设矛盾.
综上所述， .                              10分
(3) 由(2)知,当时, 时,成立.
不妨令
所以，
           11分
             12分
累加可得

            14分
考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式.