Question

【题目】已知函数（为常数），方程有两个实根3和4，

（1）求的解析式；

（2）设，解关于x的不等式；

（3）已知函数是偶函数，且在上单调递增，若不等式在任意上恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，见解析；（3）

【解析】

（1）根据题意，方程f（x）﹣x+12＝0即（1﹣a）x2+（12a﹣b）x+12b＝0的两根为3和4，由根与系数的关系分析可得有，解可得a、b的值，即可得到答案；

（2）根据题意，原不等式变形可得f（x），分情况讨论k的取值范围，求出不等式的解集，综合即可得答案；

（3）根据题意，由函数奇偶性与单调性的性质可得g（mx+1）≤g（x﹣2）|mx+1|≤|x﹣2|，x∈[，1]；进而变形可得对于任给x∈[，1]上恒成立，据此分析可得答案．

（1）由即 ，

即（1﹣a）x2+（12a﹣b）x+12b＝0两根为3和4，

，即.

故

（2）由即

1°当时，解集

2°当时，解集

3°当时，解集

（3）由于g（x）为偶函数且在（0，+∞）上递增，

g（mx+1）≤g（x﹣2）|mx+1|≤|x﹣2|，x∈[，1]；

则有，变形可得，

即有，对于任给x∈[，1]上恒成立，

对于y，有＝y|x＝1＝0，则有m≤0，

对于y，有＝y|x＝1＝﹣2，则有m≥﹣2，

故﹣2≤m≤0，即m的取值范围为[﹣2，0]．