Question

已知数列{a_n}的前n项和为．
（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，是否存在正整数n，使得对于任意的k∈N^*，都有不等式b_k≤b_n成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设T_n=|S₁|-|S₂|+…+|S_n|，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量的数量积公式，可得，再写一式，两式相减，即可证明数列为等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对于任意的k∈N^*，都有不等式b_k≤b_n成立，等价于，从而可得不等式组，即可确定存在正整数n；
（III）利用错位相减法，求T_n，代入计算，即可证得结论．
解答：（I）证明：∵，
∴
∴
两式相减，整理可得
∴=-1
∴数列为公差为-1的等差数列
∵a₁=-2
∴=-（n+1）
∴；
（Ⅱ）解：=（2011-n）•2^n-1
∵对于任意的k∈N^*，都有不等式b_k≤b_n成立
∴
∴
∴2009≤n≤2010
∴b_n的最大值为b₂₀₁₀=b₂₀₀₉
∴n=2010或n=2009；
（III）证明：由（I）得，，∴
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
∴=（n-2）•2^n-1+1
∵=（n-2）•2^n-1
∴
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．