Question

【题目】如图所示，正四棱椎P-ABCD中，底面ABCD的边长为2，侧棱长为.

（I）若点E为PD上的点，且PB∥平面EAC.试确定E点的位置；

（Ⅱ）在（I）的条件下，点F为线段PA上的一点且，若平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（I）E为PD中点，（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）设BD交AC于点O，连结OE推导出PB∥OE，由O为BD的中点，推导出在△BDP中，E为PD中点．

（Ⅱ）连结OP，以O为原点，OC、OD、OP所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ．

（Ⅰ）设BD交AC于点O，连结OE，

∵PB∥平面AEC，平面AEC∩平面BDP＝OE，

∴PB∥OE，

又O为BD的中点，

∴在△BDP中，E为PD中点．

（Ⅱ）连结OP，由题意得PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

∴以O为原点，OC、OD、OP所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

OP，

∴A（，0，0），B（0，，0），C（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），

则E（0，，），（，0，0），（，，），（0，，0），

设平面AEC的法向量（x，y，z），

则，令z＝1，得平面AEC的一个法向量（0，，1），

设平面BDF的法向量（x，y，z），

由，得F（，0，），（，，），

∴，令z＝1，得（，0，1），

∵平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为，

∴cos，

解得λ．