Question

已知数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，等差数列{b_n}的前n项和S_n有最大值，且S₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

an(n为奇数) bn(n为偶数).

求数列{c_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（1）因为数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列得到数列的通项公式，由S₃=15得到等差数列{b_n}的通项公式即可；
（2）当n为奇数时c_n，n为偶数c_n，分别求出前n项和即可得到T_n也是分段的数列．

解答：解：（1）{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a_n=3^n-1．
设{b_n}的公差为d，由S₃=15得b₁+b₂+b₃=15，于是b₂=5，
故可设b₁=5-d，b₃=5+d，又a₁=1，a₂=3，a₃=9，
由题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，解得d₁=2，d₂=-10，
∵等差数列{b_n}的前n项和S_n有最大值，
∴d＜0，d=-10，∴b_n=5-10（n-2）=-10n+25．
（2）当n为奇数时，T_n=a₁+b₂+a₃+b₄+a₅+b₆++b_n-1+a_n
=（a₁+a₃+a₅++a_n）+（b₂+b₄+b₆++b_n-1）
=

1-9 n+1 2

1-9

+(20-5n)×

n-1

2

=

3n+1-1

8

+

-5n2+25n-20

2

当n为偶数时，T_n=a₁+b₂+a₃+b₄+a₅+b₆++a_n-1+b_n
=（a₁+a₃+a₅++a_n-1）+（b₂+b₄+b₆++b_n）
=

1-9 n 2

1-9

+(30-10n)×

n

4

=

3n-1

8

+

15n-5n2

2

Tn=

3n-1 8 + 15n-5n2 2 (n为偶数) 3n+1-1 8 + -5n2+25n-20 2 (n为奇数)

点评：此题综合考查学生运用等差等比数列的通项公式的能力，以及等差等比数列求和公式的能力，运用 等差等比性质的能力．