Question

（2012•天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
（1）证明：PC⊥AD；
（2）求二面角A-PC-D的正弦值；
（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

Answer 1

分析：解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出

PC

•

AD

=0，证出PC⊥AD．
（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解．
（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜

BE

，CD

＞=cos30°=

3

2

，得出关于h的方程求解即可．
解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．
（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A-PC-D的平面角．在RT△DAH中求解
（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可．

解答：解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（-

1

2

，

1

2

，0），P（0，0，2）．
（1）证明：易得

PC

=（0，1，-2），

AD

=（2，0，0），于是

PC

•

AD

=0，所以PC⊥AD．
（2）解：

PC

=（0，1，-2），

CD

=（2，-1，0），设平面PCD的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

n • PC =0 n • CD =0

即

y-2z=0 2x-y=0

取z=1，则以

n

=（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为

m

=（1，0，0），于是cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

6

6

，sin＜

m

，

n

＞=

30

6

所以二面角A-PC-D的正弦值为

30

6

．
（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得

BE

=（

1

2

，-

1

2

，h）．由

CD

=（2，-1，0），故cos＜

BE

，CD

＞=

BE • CD

|BE ||• CD |

=

3 2

1 2 +h2 × 5

=

3

10+20h2

所以

3

10+20h2

=cos30°=

3

2

，解得h=

10

10

，即AE=

10

10

．

解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，
又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，
所以PC⊥AD．
（2）解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，
由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A-PC-D的平面角．
在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=

2

5

，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH=

AD2+AH2

=

2 30

5

，因此sin∠AHD=

AD

DH

=

30

6

．所以二面角A-PC-D的正弦值为

30

6

．
（3）解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，
设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．
由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=

5

，sin=∠ADC=

1

5

，故sin∠AFB=

1

5

．
在△AFB中，由

BF

sin∠FAB

=

AB

sin∠AFB

，AB=

2

，sin∠FAB=sin135°=

2

2

，可得BF=

5

2

，
由余弦定理，BF²=AB²+AF²-2ABAFcos∠FAB，得出AF=

1

2

，
设AE=h，在RT△EAF中，EF=

AE2+AF2

=

h2+ 1 4

，
在RT△BAE中，BE=

AE2+AB2

=

h2+ 1 2

，
在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，
由余弦定理得到，cos30°=

BE2+BF2-EF2

2BE•BF

，
解得h=

10

10

，
即AE=

10

10

．

点评：本题考查线面关系，直线与直线所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．