Question

【题目】已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为.

（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；

（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积.

Answer 1

【答案】(1)x=0或y=1或y=x+1；(2) .

【解析】试题分析：

（1）求出，分类讨论，直线与抛物线方程联立，即可求解直线的方程；

（2）直线与抛物线联立，利用韦达定理，根据的面积，即可求解的面积．

试题解析：

（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py的焦点为M，

∴p=2，M（0，1）

斜率不存在时，x=0，满足题意；

斜率存在时，设方程为y=kx+1，代入y2=4x，可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，

k=0时，x=，满足题意，方程为y=1；

k≠0时，△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，∴k=1，方程为y=x+1，

综上，直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1；

（2）直线MF的方程为y=﹣x+1，代入y2=4x，可得y2+4y﹣4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4，

∴△OAB的面积S=|OF||y1﹣y2|==2．