Question

【题目】已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；
（2）若函数 在定义域上为单调增函数．
①求 最大整数值；
②证明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当 时，
∴ ，
又 ，∴ ，
则所求切线方程为 ，即
（2）解：由题意知， ，
若函数 在定义域上为单调增函数，则 恒成立．
①先证明 ．设 ，则 ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，即 ．
同理可证
∴ ，∴ ．
当 时， 恒成立．
当 时， ，即 不恒成立．
综上所述， 的最大整数值为2．
②由①知， ，令 ，
∴
∴ ．
由此可知，当 时， ．当 时， ，
当 时， ， ，当 时， ．
累加得 ．
又 ，
∴ ．
【解析】(1)函数的导函数在x=0处的函数值就是函数图象在该点处的切线斜率,用点斜式得到切线方程;
(2)函数在区间上单调递增等价于导函数在区间上恒非负,转化为恒成立问题求a的范围,通过分类讨论得到a的最大整数值;由结论得到一个不等式,令其中t分别取得,2,3...n得到的不等式相加进一步转化为等比数列求和,从而证明不等式.