Question

【题目】已知抛物线的焦点为，过点，斜率为1的直线与抛物线交于点，，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线，分别交直线于两点，求取最小值时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）直曲联立表示出抛物线弦长，得到关于的方程，求出，得到抛物线的方程.

（2）直线与抛物线联立，得到、，再根据题意，得到点和点的坐标，用和表示出，代入、的关系，得到函数，求出最小值.从而得到直线的方程.

（1），直线的方程为，

由，联立，

得，，

，

，

抛物线的方程为：.

（2）设，，直线的方程为：，

联立方程组消元得：，

∴，.

∴ .

设直线的方程为，

联立方程组解得，

又，∴.

同理得.

∴ .

令，，则.

∴ .

∴当即时，取得最小值.

此时直线的方程为，即.