Question

【题目】已知如图1所示，在边长为12的正方形,中，,且,分别交于点,将该正方形沿,折叠，使得与重合，构成如图2 所示的三棱柱,在该三棱柱底边上有一点,满足; 请在图2 中解决下列问题:

(I)求证:当时，//平面；

(Ⅱ)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】(I)见解析；(II)或.

【解析】分析：（I）过作交于，连接，则，推出四边形为平行四边形，则，由此能证明//平面；（Ⅱ）根据及正方形边长为，可推出，从而以为轴，建立空间直角坐标系，设立各点坐标，然后求出平面的法向量，再根据直线与平面所成角的正弦值为，即可求得的值.

详解：(I)解: 过作交于，连接，所以,

∴共面且平面交平面 于,

∵

又 ,

∴四边形为平行四边形，∴,

平面,平面,

∴//平面

(II)解:∵

∴,从而,即.

∴.

分別以为轴，则,.

设平面的法向量为,所以得.

令，则,，所以

由得的坐标为

∵直线与平面所成角的正弦值为,

∴解得或.