【题目】已知椭圆:
的离心率
,左顶点为
.过点
作直线
交椭圆
于另一点
,交
轴于点
,点
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程:
(2)已知为
的中点,是否存在定点
,对任意的直线
,
恒成立?若存在,求出点
的坐标;若不存在说明理由;
(3)过点作直线
的平行线与椭圆
相交,
为其中一个交点,求
的最大值.
【答案】(1)(2)存在定点
,坐标为
(3)
【解析】
(1)由已知条件求出椭圆的长半轴,短半轴长即可得解;
(2)联立直线方程与椭圆方程得,求出
坐标,然后结合向量的数量积运算即可得解;
(3)先将用
表示,再结合基本不等式求解即可.
解:(1)∵左顶点为∴
又∵∴
又∵,∴椭圆
的标准方程为
.
(2)由已知,直线的斜率必存在,直线
的方程为
,
联立得,
,
设,
,则
,
又为
的中点,所以
,
又因为点在直线
上,则
,
即点的坐标为
,
又直线的方程为
,
令,得点
的坐标为
,即
假设存在定点使得
,则
,
①若,
显然恒成立;
②若,因为
,所以
恒成立,
则,即
即定点的坐标为
.
综上,存在定点满足题意;
(3)∵,∴
的方程可设为
,
由得
点的横坐标为
由,得
,当且仅当
即
时取等号,
∴当时,
的最小值为
.
故的最大值为
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
(Ⅰ)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与曲线
相交于
两点,当
时,求
的取值范围.
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【题目】出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的.在出租车几何学中,点还是形如的有序实数对,直线还是满足
的所有
组成的图形,角度大小的定义也和原来一样,对于直角坐标系内任意两点
、
定义它们之间的一种“距离”(“直角距离”):
,请解决以下问题:
(1)求线段(
,
)上一点
到原点
的“距离”;
(2)求所有到定点的“距离”均为2的动点围成的图形的周长;
(3)在“欧式几何学”中有如下三个与“距离”有关的正确结论:
①平面上任意三点A,B,C,;
②平面上不在一直线上任意三点A,B,C,若,则
是以
为直角三角形
③平面上存在两个不同的定点A,B,若动点P满足,则动点P的轨迹是
的垂直平分线
上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确,并说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,PM=2MD,AN=2NB,∠DAB=60°.
(1)求证:直线AM∥平面PNC;
(2)求二面角D﹣PC﹣N的余弦值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,圆
:
,直线
:
,直线
过点
,倾斜角为
,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出直线与圆
的交点极坐标及直线
的参数方程;
(2)设直线与圆
交于
,
两点,求
的值.
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【题目】如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本(单位:万元)及其构成比例,则下列判断正确的是( )
A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大
B. 由于丙企业生产规模大,所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大
C. 甲企业本着勤俭创业的原则,将其他费用支出降到了最低点
D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高
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【题目】已知不等式|2x-1|+|2x-2|<x+3的解集是A.
(Ⅰ)求集合A;
(Ⅱ)设x,y∈A,对任意a∈R,求证:xy(||x+a|-|y+a||)<x2+y2.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD=2,∠DAB=60°,PA=PC=2,且平面ACP⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证:CB⊥PD;
(Ⅱ)求二面角C-PB-A的余弦值.
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