Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且lga-lgb=lgcosB-lgcosA≠0
（1）判断△ABC的形状；
（2）设向量

m

=（2a，b），

n

=（a，-3b）且

m

⊥

n

，（

m

+

n

）（

n

-

m

）=14，求S_△ABC的值．

Answer 1

分析：（1）利用对数的运算性质与正弦定理可由lga-lgb=lgcosB-lgcosA≠0⇒sin2A=sin2B，且a≠b，从而可得A+B=

π

2

，于是可得△ABC的形状；
（2）利用向量的坐标运算可得到a，b的方程组，解之即可求得S_△ABC的值．

解答：解：（1）依题意，lg

a

b

=lg

cosB

cosA

，
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∵a≠b，
∴A+B=

π

2

，
∴△ABC的形状为直角三角形．
（2）∵

m

⊥

n

，
∴2a²-3b²=0，
（

m

+

n

）（

n

-

m

）=14，
∴8a²-3b²=14，
∴a=

6

，b=2，
∴S_△ABC=

6

．

点评：本题考查三角形的形状判断，考查对数的运算性质与正弦定理及向量的坐标运算，属于中档题．