Question

AB是圆O的直径，F为圆O上一点，∠BAF的角平分线与圆O交于点C，过点C作圆O的切线与直线AF相交于点D，若AB=6，∠DAB=

π

3

．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）求DF•DA的值．

Answer 1

分析：（1）由AB是圆O的直径，可得∠ACB=

π

2

．由于∠DAB=

π

3

，AC平分∠DAB．利用角平分线的性质可得∠CAB=∠CAD=

π

6

，可得∠ABC=

π

3

．利用切线的性质可得∠ACD=∠ABC=

π

3

．可得∠ADC=

π

2

．即可．
（2）在Rt△ABC中，利用AB=6，∠ABC=

π

3

．可得AC=AB•sin

π

3

．在Rt△ACD中，DC=AC•cos∠ACD．再利用切割线定理可得：DF•DA=DC²即可．

解答：（1）证明：如图所示．
∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=

π

2

．
∵∠DAB=

π

3

，AC平分∠DAB．
∴∠CAB=∠CAD=

π

6

，∴∠ABC=

π

3

．
∵DC与⊙O相切于点C，∴∠ACD=∠ABC=

π

3

．
∴∠CAD+∠ACD=

π

2

．
∴∠ADC=

π

2

．
∴AD⊥DC．
（2）在Rt△ABC中，∵AB=6，∠ABC=

π

3

．
∴AC=AB•sin

π

3

=3

3

．
在Rt△ACD中，DC=AC•cos∠ACD=3

3

×

1

2

=

3 3

2

．
由切割线定理可得：DF•DA=DC²=(

3 3

2

)2=

27

4

．

点评：本题中考查了圆的性质、切线的性质、直角三角形的边角关系、角平分线的性质、切割线定理等基础知识与基本技能，属于中档题．