Question

【题目】[选修4-1：几何证明选讲]
如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．

（1）证明：B，C，G，F四点共圆；
（2）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵DF⊥CE，

∴Rt△DFC∽Rt△EDC，

∴ ，

∵DE=DG，CD=BC，

∴ ，

又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，

∴△GDF∽△BCF，

∴∠CFB=∠DFG，

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，

∴∠GFB+∠GCB=180°，

∴B，C，G，F四点共圆．

（2）

∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE= ，

∴在Rt△DFC中，GF= CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，

∴S四边形BCGF=2S△BCG=2× ×1× = ．

【解析】（1）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；（2）在Rt△DFC中，GF= CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S四边形BCGF=2S△BCG ， 据此解答．；本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．