Question

【题目】已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

（1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ?

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）λ＝

【解析】(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.

∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.

∵＝λ(0＜λ＜1)，

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.

∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF.

∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.

(2)解：由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.

∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，

∴BD＝，AB＝tan60°＝.

∴AC＝＝.

由AB2＝AE·AC，得AE＝.∴λ＝＝.

故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD