Question

【题目】如图，在三棱锥中，是正三角形，是等腰直角三角形，，.

（1）证明：平面平面；

（2）设，点为的中点，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连结,根据等边三角形的性质、等腰直角三角的性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）由（1）可以求出三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式进行求解即可.

（1）取的中点，连结,设

是正三角形，因此有，由勾股定理可知：

.

在等腰直角三角形中，因为，所以,

.

因为，所以，

而平面，所以平面，

又因为平面，所以平面平面；

（2）由（1）可知：平面平面，，

而平面平面，平面，

因此平面，由（1）可知，

因为点为的中点，所以点到平面的距离为，

三棱锥的体积为，

.