Question

【题目】已知函数，其中是自然对数的底数.

（1）证明：当时， ；

（2）设为整数，函数有两个零点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1

【解析】试题分析：（1）要证明不等式成立，构造设，求导，利用单调性即可证明，从而证明整个不等式组（2）结合（1）问结论得当时无零点，当时，利用导数求得其单调性当时， ， 单调递减，当时， ， 单调递增，然后求得，从而得到两个零点

解析：（1）证明：设，则，令，得

当时， ， 单调递减

当时， ， 单调递增

∴，当且仅当时取等号，∴ 对任意，

∴当时， ，∴当时，

∴当时，

（2）函数的定义域为

当时，由（Ⅰ）知， ，故无零点

当时， ，

∵， ，且为上的增函数

∴有唯一的零点，当时， ， 单调递减

当时， ， 单调递增

∴的最小值为

由为的零点知， ，于是

∴的最小值，由知， ，即

又，

∴在上有一个零点，在上有一个零点

∴有两个零点，综上所述， 的最小值为1.