Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，EF⊥PB．
（I）求证：PA∥平面BDE；
（II）求证：PB⊥平面DEF；
（III）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

分析：解法一：（几何法）（I）连接AC，AC交BD于点G，连接EG，由三角形中位线定理，可得EG∥PA，由线面平行的判定定理可得：PA∥平面BDE；
（II）由已知中底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，我们可得DE⊥PB，再由EF⊥PB结合线面垂直的判定定理即可得到答案．
（III）由（II）中结论，可得PB⊥FD．结合EF⊥PB，由二面的定义可得∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角，解三角形EFD即可得到答案．
解法二：（向量法）（I）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AC，AC交BD于点G，连接EG．分别求出PA，EG的方向向量，易判断PA与EG平行，进而由线面平行的判定定理得到答案．
（II）分别求出DE与PB的方向向量，由它们的数量积为0，易得DE⊥PB，再由EF⊥PB结合线面垂直的判定定理即可得到答案．
（III）由（II）中结论，可得PB⊥FD．结合EF⊥PB，由二面的定义可得∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角，设点F的坐标为（x，y，z），由PF∥PB，DF⊥PB，构造方程求出点F的坐标，进而求出FD，FE的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角C-PB-D的平面角的大小．

解答：解法一：
（I）证明

如图，连接AC，AC交BD于点G，连接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G为AC的中点．
又E为PC的中点，∴EG∥PA．∵EG?平面EDB，PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB   …（4分）
（II）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DB，PD⊥DC，
又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．∴PC是PB在平面PDC内的射影．
∵PD⊥DC，PD=DC，点E是PC的中点，∴DE⊥PC．
由三垂线定理知，DE⊥PB．
∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．   …（8分）
（III）解：
∵PB⊥平面EFD，∴PB⊥FD．又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角．…（10分）
∵PD=DC=BC=2，∴PC=DB=2

2

，DE=

1

2

PC=

2

∵PD⊥DB，
∴PB=

PD2+DB2

=2

3

DF=

PD•DB

PB

=

2 6

3

由（II）知：DE⊥PC，DE⊥PB，PC∩PB=P，∴DE⊥平面PBC．
∵EF?平面PBC，∴DE⊥EF．
在Rt△DEF中，sin∠EFD=

DE

DF

=

3

2

∴∠EFD=60°．
故所求二面角C-PB-D的大小为60°．  …（12分）
解法二：
如图，以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，得以下各点坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2）…（1分）
（I）证明：
连接AC，AC交BD于点G，连接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G为AC的中点．G点坐标为（1，1，0）．
又E为PC的中点，E点坐标为（0，1，1），
∴

PA

=（2，0，-2），

EG

=（1，0，-1）
∴

PA

=2

EG

∴PA∥EG
∵EG?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB   …（4分）
（II）证明：

PB

=（2，2，-2），

DE

=（0，1，1）
∴

PB

•

DE

=0
∴PB⊥DE
又∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．
（III）∵PB⊥平面EFD，∴PB⊥FD．
又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，DE⊥平面PBC
∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角．…（10分）
设点F的坐标为（x，y，z），则

PF

=（x，y，z-2），

DF

=（x，y，z）
∵PF∥PB，DF⊥PB
∴

PF

=k

PB

，

PB

•

DF

=0，即：
x=y=（-z-2）=2k，x+y-z=0
解得：k=

1

3

，x=y=

2

3

，z=

4

3

∴点F的坐标为（

2

3

，

2

3

，

4

3

）

FD

=（-

2

3

，-

2

3

，-

4

3

），

EF

=（-

2

3

，

1

3

，-

1

3

）
∵cos∠EFD=

FD • FE

| FD |•| FE |

=

1

2

∴∠EFD=60°．故所求二面角C-PB-D的大小为60°．  …（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中几何法的关键是熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定、性质及几何特征，建立良好的空间想像能力，几何法的关键是建立适当的空间坐标系，将空间线面关系及线面夹角问题转化为向量夹角问题．