Question

【题目】已知四棱锥，，在平行四边形中，，Q为上的点，过的平面分别交，于点E、F，且平面.

（1）证明：；

（2）若，，Q为的中点，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）利用线面平行的性质可知，再后再根据条件证明平面，从而证明线线垂直；

（2）如图，以O为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用两个平面法向量求二面角的余弦值.

（1）证明：连结交于点O，连结.

∵在平行四边形中，，

∴，且O为、的中点，

∵，∴，

∵，且平面，

∴平面，

∵平面，∴，

∵平面，且平面平面

∴，

∴

（2）由（1）可知平面，故平面平面

∵，且O为的中点，∴

又∵平面平面

∴平面，

∴与平面所成角为

∵与平面所成角的正弦值为，且，∴，

在中，，由勾股定理得：

如图，以O为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则：

，

∵Q为的中点，∴

则，

易知，平面的一个法向量为

设平面的法向量为，因为，则：

，即，

令，则：，，故可取平面的一个法向量为

∴

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为