Question

【题目】已知数列{an}为等差数列，a1=2，{an}的前n项和为Sn ， 数列{bn}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）是否存在非零整数λ，使不等式sin ＜ 对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
（3）各项均为正整数的无穷等差数列{cn}，满足c39=a1007 ， 且存在正整数k，使c1 ， c39 ， ck成等比数列，若数列{cn}的公差为d，求d的所有可能取值之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，

∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）2n+2+4，

令n=1，2，3，分别得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，

又a1=2，

∴ ，即 ，解得 或 ．

经检验d=q=2符合题意， 不合题意，舍去．

∴an=2n， ；

（2）解：由an=2n，得sin ，

设 ，

则不等式sin ＜ 等价于 ，

∵bn＞0，且 ，

∴bn+1＞bn，数列{bn}单调递增，

假设存在这样的实数λ，使得不等式 对一切n∈N*都成立，则

①当n=4m+4和n=4m+2，m∈N时，sin ，不等式 恒成立；

②当n=4m+1，m∈N时，sin ，λ＜ ；

③当n=4m+3，m∈N时，sin ， ．

综上，λ∈（ ），由λ是非0整数，可知存在λ=1（﹣1不满足题意，舍）满足条件；

（3）解：由题意可知，d=0时成立；

当d＞0时，c39=c1+38d=2014，得c1=2014﹣38d．

ck=c39+（k﹣39）d=2014+（k﹣39）d，

由 ，得（2014﹣38d）[014+（k﹣39）d]=20142，得

k= = = ∈N*．

又∵ ，0＜53﹣d＜53．

∴53﹣d=1，2，19，53，

则d=0，52，51，34，

∴公差d的所有可能取值之和为137．

【解析】（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，在a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）2n+2+4中分别令n=1，2，3，得到关于d与q的方程组，求解方程组可得 或 ，检验d=q=2符合题意，从而求得an=2n， ；（2）由an=2n，得sin ，设 ，把原不等式转化为 ，且 ，可得数列{bn}单调递增，假设存在这样的实数λ，使得不等式 对一切n∈N*都成立，分①n=4m+4和n=4m+2，m∈N，②n=4m+1，m∈N，③n=4m+3，m∈N时求解非0整数λ的值；（3）由题意可知，d=0时成立；当d＞0时，结合 ，得（2014﹣38d）[2014+（k﹣39）d]=20142 ， 即k= = = ∈N* ． 再由d＞0且c1＞0求出λ的所有可能取值得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．