Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos

A

2

=

2 5

5

．
（Ⅰ）若bc=5，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若a=1，求b+c的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cos

A

2

的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin

A

2

的值，利用二倍角的正弦函数公式求出sinA的值，再由bc的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积；
（Ⅱ）由sin

A

2

的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cosA的值，再利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，利用基本不等式即可求出b+c的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵cos

A

2

=

2 5

5

，0＜A＜π，
∴sin

A

2

=

1-cos2 A 2

=

5

5

，
∴sinA=2sin

A

2

cos

A

2

=

4

5

，
∵bc=5，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=2；
（Ⅱ）∵sin

A

2

=

5

5

，
∴cosA=1-2sin²

A

2

=

3

5

，
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）=1，
∴bc=

5

16

[（b+c）²-1]≤

(b+c)2

4

，
∴b+c≤

5

，当且仅当b=c=

5

2

时等号成立，
则b+c的最大值为

5

．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练定理及公式是解本题的关键．