Question

【题目】已知是圆：上任意一点，，线段的垂直平分线与半径交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）记曲线与轴交于两点，是直线上任意一点，直线，与曲线的另一个交点分别为，求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)见解析

【解析】

（1）由已知，利用椭圆的定义计算即可；

（2）设点，直线的方程为:，与联立得： ，设点 ，则， ；设点 同理得，；由即可得出结论.

（1）由线段的垂直平分线与半径交于点，得，

所以点的轨迹为以焦点，长轴长为的椭圆， 故 ， ，

曲线的方程为

（2）由（1）得 ,设点的坐标为 ，直线的方程为: ，

将与联立整理得： ，

设点的坐标为 ，则 ，故，则 ，

直线的方程为:，将与联立整理得：，

设点的坐标为 ，则 ，故，则，

的斜率为

的斜率为

因为 ，所以直线经过定点.