Question

【题目】已知函数f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）． （I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），且f（x1）﹣f（x2）≥ ﹣2ln2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）= ，令x2﹣ax+1=0，则△=a2﹣4，

①0＜a≤2时，△≤0，f′（x）≥0恒成立，

函数f（x）在（0，+∞）递增；

②a＞2时，△＞0，方程x2﹣ax+1=0有两根

x1= ，x2= ，且0＜x1＜x2，

函数f（x）在（0，x1）上f′（x）＞0，

在（x1，x2）上，f′（x）＜0，在（x2，+∞）上，f′（x）＞0，

故函数f（x）在（0， ）递增，在（ ， ）递减，在（ ，+∞）递增；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在（x1，x2）上递减，x1+x2=a，x1x2=1，

则f（x1）﹣f（x2）=2ln +（x1﹣x2）（x1+x2﹣2a）=2ln + ﹣ ，

令t= ，则0＜t＜1，f（x1）﹣f（x2）=2lnt+ ﹣t，

令g（t）=2lnt+ ﹣t，则g′（t）=﹣ ＜0，

故g（t）在（0，1）递减且g（ ）= ﹣2ln2，

故g（t）=f（x1）﹣f（x2）≥ ﹣2ln2=g（ ），即0＜t≤ ，

而a2= = + +2=t+ +2，其中0＜t≤ ，

∵（t+ +2）′=1﹣ ≤0在t∈（0， ]恒成立，

故a2=t+ +2在（0， ]递减，

从而a的范围是a2≥ ，

故a≥

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）得到x1+x2=a，x1x2=1，则f（x1）﹣f（x2）=2ln +（x1﹣x2）（x1+x2﹣2a）=2ln + ﹣ ，令t= ，则0＜t＜1，f（x1）﹣f（x2）=2lnt+ ﹣t，令g（t）=2lnt+ ﹣t，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．