Question

【题目】已知椭圆C： 的离心率为 ，M为C上除长轴顶点外的一动点，以M为圆心， 为半径作圆，过原点O作圆M的两条切线，A、B为切点，当M为短轴顶点时∠AOB= ． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的右焦点为F，过点F作MF的垂线交直线x= a于N点，判断直线MN与椭圆的位置关系．

Answer 1

【答案】解：（I）由题意，△OMA（△OMB）为等腰直角三角形，因为圆M的半径为 ，所以b=1，

又因为 ，所以 ，此时椭圆的方程为 ；

（II）（i）MF垂直于x轴，则 ，

此时直线MN的方程为 ，代入椭圆方程得：x2﹣2+1=0，

所以直线MN与椭圆相切；

（ii）MF不垂直于x轴，设M（x0，y0），则 ，

直线NF的方程 ，令x=2，解得 ，即得 ． ，由M（x0，y0）在椭圆上，得 ，

代入 ．

得直线MN方程为 ，

与椭圆方程联立得： ，

化简得： ，所以此时直线MN与椭圆相切，

综合（i）（ii），直线MN与椭圆相切．

【解析】（I）利用△OMA（△OMB）为等腰直角三角形，求出b=1，通过离心率求解a，然后求解椭圆方程．（II）（i）MF垂直于x轴，验证直线MN与椭圆相切；（ii）MF不垂直于x轴，设M（x0，y0），则 ，转化求解直线MN方程，与椭圆方程联立，转化证明直线MN与椭圆相切．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．