Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，BC//AD，且AD=2AB=2BC=2，∠BAD=90°，△PAD为等边三角形，平面ABCD⊥平面PAD；点E、M分别为PD、PC的中点.

（1）证明：CE//平面PAB；

（2）求三棱锥M﹣BAD的体积；

（3）求直线DM与平面ABM所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）.

【解析】

（1）设的中点为，连接，利用三角形的中位线证得，而，由此证得，由此证得四边形是平行四边形，进而证得，从而证得平面.

（2）根据等边三角形的性质，结合面面垂直的性质定理，求得到平面的距离，而是的中点，故到平面的距离是到平面的距离的一半.由此求得到平面的距离，进而求得三棱锥的体积.

（3）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.

（1）证明：设PA的中点为N，连结EN，BN，

∵E为PD中点，∴EN为△PAD的中位线，

∴EN//AD，且ENAD，

在梯形ABCD中，BC//AD，且BCAD，

∴BC//EN，且BC=EN，∴四边形ENBC是平行四边形，∴CE//BN，

∵BN平面PAB，CE平面PAB，∴CE//平面PAB.

（2）解：∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，且AD=2AB=2BC=2，∠BAD=90°，

∴1，

∵△PAD为等边三角形，平面ABCD⊥平面PAD，点M是PC的中点.

设AD的中点为O，则PA=PD，∴PO⊥AD，

∴M到平面ABD的距离d，

∴三棱锥M﹣BAD的体积V.

（3）∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，PO平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

又∵CO//BA，∠BAD=90°，∴CO⊥AD，

∴OA，OC，OP，OC两两垂直，

以O为原点，OA，OC，OP，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（1，0，1），M（0，，），D（﹣1，0，0），

（0，0，1），（﹣1，，），

设平面ABM的法向量（x，y，z），

则，取x，得（），（1，，），

cos，

∴直线DM与平面ABM所成角的正弦值为.