Question

【题目】已知函数，a∈R．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=0（Ⅱ）单调递减区间为（-1，-），单调递增区间为（-∞，-1），（-，+∞）

【解析】

（Ⅰ）当时，求出函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（II）当时，令，得，，分三种情况①，②当，③当，讨论的单调区间．

（Ⅰ）f（x）的定义域为R，．

当a=1时，f′（0）=0，f（0）=0，

所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=0．

（Ⅱ）f′（x）=aex（x+1）-x-1=（x+1）（aex-1）．

（1）当a≤0时，aex-1＜0，

所以当x＞-1时，f′（x）＜0；当x＜-1时，f′（x）＞0．

所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）．

（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-lna．

①当-lna=-1，即a=e时，f′（x）≥0，

所以f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；

②当-lna＜-1，即a＞e时，

当-lna＜x＜-1时，f′（x）＜0；当x＜-lna或x＞-1时，f′（x）＞0．

所以f（x）的单调递减区间为（-lna，-1），单调递增区间为（-∞，-lna），（-1，+∞）；

③当-lna＞-1，即0＜a＜e时，

当-1＜x＜-lna时，f′（x）＜0；当x＜-1或x＞-lna时，f′（x）＞0．

所以f（x）的单调递减区间为（-1，-lna），单调递增区间为（-∞，-1），（-lna，∞）．