Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象过点（-2，1），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[-1，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）为偶函数，且

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

F（x）=求证：当mn＜0，m+n＞0，a＞0时，F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析：（I）将（-2，1）代入f（x）=ax²+bx+1，及方程f（x）=0有且只有一个根得△=b²-4a=0．用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（II）由（I）可知f（x）=x²+2x+1，可得g（x）=x²+（2-k）x+1，由g（x）在x∈[-1，2]时是单调函数，可得 关于k的不等关系，解之即可得出k的取值范围．
（Ⅲ）根据f（x）为偶函数，得到f（x）=ax²+1．从而F（x）=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

．由于F（m）+F（n）=f（m）-f（n），欲证F（m）+F（n）＞0，只须证明f（m）-f（n）＞0即可．

解答：解：（Ⅰ）因为f（-2）=1，即4a-2b+1=1，所以b=2a．…（1分）
因为方程f（x）=0有且只有一个根，即△=b²-4a=0．
所以4a²-4a=0．即a=1，b=2．…（2分）
所以f（x）=（x+1）²．…（3分）
（Ⅱ）因为g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²-（k-2）x+1=（x-

k-2

2

）²+1-

(k-2)2

4

．    …（5分）
所以当 

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-1时，
即k≥6或k≤0时，g（x）是单调函数．  …（7分）
（Ⅲ）因为f（x）为偶函数，所以b=0．
所以f（x）=ax²+1．
所以F（x）=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

　   …（8分）
因为mx＜0，不妨设m＞0，则n＜0．
又因为m+n＞0，所以m＞-n＞0．
所以|m|＞|-n|．…（9分）
此时F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．         …（10分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、利用待定系数法求二次函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．