Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.

(1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．(12分)

Answer 1

【答案】（1）A＝120°.（2）B＝C＝30°.

【解析】

(1)利用正弦定理，余弦定理即可求 的大小；

方法一　由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，

又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝，

∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.，代入求出，即可判断；

方法二　由(1)A＝120°，∴B＋C＝60°，

则C＝60°－B，∴sin B＋sin C=sin(B＋60°)＝1，求出，即可判断；

解　(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，

即a2＝b2＋c2＋bc.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

故cos A＝－，A＝120°.

(2)方法一　由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，

又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝，

∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.

∴sin2B＋(1－sin B)2＋sin B(1－sin B)＝，

即sin2B－sin B＋＝0.

解得sin B＝.故sin C＝.

∴B＝C＝30°.

所以，△ABC是等腰的钝角三角形．

方法二　由(1)A＝120°，∴B＋C＝60°，

则C＝60°－B，

∴sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝sin B＋cos B－sin B

＝sin B＋cos B＝sin(B＋60°)＝1，

∴B＝30°，C＝30°.

∴△ABC是等腰的钝角三角形．