Question

已知数列{a_n}满足：

a1=0 an+1= 1+an 3-an (n∈N*)

，
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值，由此猜想a_n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根据求出的钱5项的值，猜想：an=

n-1

n+1

(n∈N*)．
（2）检验①当n=1时，猜想成立，假设ak=

k-1

k+1

，则由 ak+1=

1+ak

3-ak

=

1+ k-1 k+1

3- k-1 k+1

=

(k+1)-1

(k+1)+1

，可得
当n=k+1时，猜想仍成立．

解答：解：（1）a2=

1

3

，a3=

1

2

=

2

4

，a4=

3

5

，a5=

2

3

=

4

6

，由此猜想：an=

n-1

n+1

(n∈N*)．
（2）证明：①当n=1时，a1=0=

1-1

1+1

，猜想成立；
②假设当n=k（k≥1）时，猜想成立，即ak=

k-1

k+1

，则当n=k+1时，ak+1=

1+ak

3-ak

=

1+ k-1 k+1

3- k-1 k+1

=

2k

2k+4

=

k

k+2

=

(k+1)-1

(k+1)+1

，
这表明当n=k+1时，猜想仍成立． 根据①②，猜想对任意的n∈N^*都成立．

点评：本题考查数列的递推式，归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时，猜想仍成立，是解题的关键和难点．